以下是Chrome浏览器插件权限申请失败的快速处理案例：
1. 检查网络连接：确保设备网络正常，可尝试切换网络或重启路由器。若网络不稳定，可能导致权限申请失败，因为插件需与服务器通信验证权限。
2. 更新浏览器和插件：进入Chrome设置，检查浏览器是否有可用更新并安装。同时，在扩展程序页面（`chrome://extensions/`）中，查看插件是否有更新提示，若有则更新，可能修复权限问题。
3. 检查插件来源：若插件非来自Chrome官方应用商店，可能因来源不明被阻止。建议从正规渠道下载安装插件，如官方网站或知名下载平台，避免使用未知来源插件。
4. 调整浏览器设置：在Chrome设置中，找到“隐私和安全”部分，检查“站点设置”中相关权限是否被禁用。若被禁用，可手动启用。同时，确保“安全浏览”功能未误拦截插件。
5. 清除浏览器缓存：按`Ctrl + Shift + Del`（Windows）或`Cmd + Shift + Del`（Mac），清除浏览器缓存和Cookie，然后重新申请权限，可能解决因缓存数据导致的权限问题。
6. 检查系统时间：确保设备系统时间准确，若时间错误，可能导致插件权限验证失败。可在系统设置中调整时间，与当前时区一致。
7. 以管理员身份运行浏览器：右键点击Chrome图标，选择“以管理员身份运行”，可能解决因权限不足导致的插件权限申请失败问题。
8. 联系插件开发者：若上述方法均无效，可联系插件开发者，反馈权限申请失败问题，开发者可能提供解决方案或修复插件。